研究背景： 结构非线性动力反应分析是基于性能的结构抗震分析和设计的重要手段，分析中常常采用具有无条件稳定性的隐式算法，以实现大步长计算来保证精度和效率。然而对于大规模复杂建筑，有限元模型自由度数目过于庞大，计算效率非常低下，甚至计算不收敛；隐式算法，如Newmark法，一般采用(修正)Newton法进行求解，造成效率低下的主要原因主要有两个：1）每个时间步上，至少需对整体等效切线刚度矩阵(雅可比矩阵)进行一次三角分解；2）每个时间步上，均需迭代若干次，直到满足收敛准则，若切线刚度非正定，可能造成计算不收敛。

研究方法及结果

       张令心团队成员徐俊杰和曲哲提出一种用于结构非线性动力反应分析的快速无条件稳定算法，该法采用不变的初始等效刚度矩阵，在每个时间步上只进行2次迭代，而无需满足收敛准则，即可达到和Newton法相当的精度。

算法结果

（1）效率：对一个42层的高层建筑进行非线性动力反应分析，采用Newton法的计算时间是11.3天，采用本文算法的计算时间是4.3个小时，计算效率提升60多倍。主要原因在于极速Newton法只需要在时间步计算之前，对初始等效刚度矩阵进行一次三角分解，每个时间步上仅进行2次迭代。

（2）精度：对上述算例，本文算法与Newton法误差仅为1%。论文对此进行了严格的数学证明，见原文第4节，具体的：每个时间步上计算误差由两部分误差组成：1) 积分误差：如具有二阶精度的Newmark法的局部误差为O(dt^3)； 2）算法误差：也就是求解非线性方程的误差。本文证明，采用初始等效刚度矩阵，迭代N次之后的计算结果，与迭代无限次之后的误差为O(dt^2N)。因此，总误差为两部分相加O(dt^3)+O(dt^2N)。故仅需要迭代两次(N=2)，即可使得总误差与积分误差同阶，即：O(dt^3)+O(dt^4)= O(dt^3)，更多次迭代无法再改变总误差阶次。另外，文中同样验证了极速牛顿法对于4阶Runge-Kutta法的最优迭代次数为3次。

（3）稳定性：本文算法可以保持积分方法（如Newmark法）的无条件稳定性，文中采用能量法给出了严格的数学证明，见原文第5节，当满足稳定性条件，2σK0 – KT > 0，K0 和KT分别为初始刚度和切线刚度矩阵，每个时间步上能量守恒或衰减，算法无条件稳定。稳定性条件表明，算法对刚度软化系统具有严格无条件稳定性，并可通过调节σ，对刚度硬化系统实现无条件稳定。

       除了Newmark法和Runge-Kutta法，本文结论同样适用于目前结构非线性动力反应分析常用的几种算法，如HHT法，Generalized-α法等等，具有广泛的适用性。

       该成果发表在计算力学国际著名期刊《International Journal of Numerical Method in Engineering》（Junjie Xu, Yuli Huang*, Zhe Qu, An efficient and unconditionally stable numerical algorithm for nonlinear structural dynamics, International Journal of Numerical Method in Engineering, Jun 7th, 2020）(online)（IF：2.746，*通讯作者）。

       论文全文可通过以下链接下载：

 https://www.researchgate.net/publication/342098037_An_efficient_and_unconditionally_stable_numerical_algorithm_for_nonlinear_structural_dynamics

图1  42层高层建筑的有限元模型

图2   层顶动力响应a)位移，b) 速度 和 c) 加速度 (PGA = 5.1 m/s2)

图3   (a) 最大层间位移角对比；(b) 楼层峰值加速度对比